Expositor: Jorge Antonio Faya
Institución: IMUNAM
27/03/2014
de 14:30 a15:30
En esta plática consideremos el problema clásico de Lane-Emden-Fowler
(\wp_{p,\Theta})\qquad\left\{\begin{array}[c]{ll}%-\Delta v=|v|^{p-2}v & \text{in }\Theta,\\v=0 & \text{on }\partial\Theta,\end{array}\right.
para ambas, no-linealidades críticas (p=2∗) y supercr\'iticas (p>2∗), en un dominio acotado suave Θ en RN, N≥3. Aquí, como es usual, 2∗:=2NN−2es el exponente crítico de Sobolev.
La ecuación (℘p,Θ) modela muchos fenómenos físicos. Para p=2∗ surge en preguntas fundamentales dentro de la geometría diferencial tal como el problema de Yamabe.
En algunos casos particulares uno puede reducir el problema supercrítico a un problema anisotrópico crítico de la forma
\((\wp_{a_{1},a_{2},a_{3},\Omega}^{*})\qquad\left\{
\begin{array}
[c]{ll}%
-\mbox{div}(a_{1}(x)\nabla u) +a_{2}(x)u=a_{3}(x)|u|^{2^{*}-2}u & \text{in }\Omega,\\
u=0 & \text{on }\partial\Omega
\end{array}
\right.\)
en donde Ω es un dominio acotado suave enRn, n≥3 y
ai∈C0(Ω¯¯¯) es estrictamente positiva para cada i=1,2,3.
En esta plática daremos una breve reseña histórica del problema(℘p,Θ) y mostraremos como la existencia de soluciones para este problema depende de la geometría y la topología del dominio Θ. También presentamos resultados recientes acerca de la existencia, no existencia y multiplicidad de soluciones para estos problemas.
Estos resultados fueron obtenidos en colaboraci\'on con las profesoras Mónica Clapp y Angela Pistoia y están contenidos en los artículos \cite{ClFa1, ClFaPi1, ClFaPi2}.
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ClFa1} M. Clapp, J. Faya \emph{Multiple solutions to the Bahri-Coron problem in some domains with
nontrivial topology}, Proc. Amer. Math. Soc., To appear.
\bibitem{ClFaPi1} M. Clapp, J. Faya, A. Pistoia, \emph{Nonexistence and multiplicity of solutions to elliptic
problems with supercritical exponents}, Calc. Var. Partial Differential Equations, DOI:10.1007/s00526-012-0564-6.
\bibitem {ClFaPi2}M. Clapp, J. Faya, A. Pistoia, \emph{Positive solutions to a
supercritical elliptic problem which concentrate along a think spherical
hole}, J. Anal. Math. to appear.
\end{thebibliografy}
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