Ponente: Brenda Karime Alvarez Ortiz
Institución: Facultad de Ciencias, UNAM
30/08/2023 de 15:00 a 16:00
Dónde Salón de seminarios "Graciela Salicrup"
Estudiaremos la existencia de soluciones positivas al problema elíptico no lineal
−∆u = λe^u en B,
u = 0 sobre ∂B,
donde B es la bola unitaria abierta y λ es un parámetro real y positivo.
La ecuación anterior se conoce como el problema de Gelfand. Esta ecuación es un modelo simplificado para procesos de auto-ignición. En particular, el parámetro λ establece la relación que hay entre la difusión del calor (el término −∆u) y la fuente de calor producida por la reacción de combustión (el término e^u).
El problema de Gelfand es una ecuación elíptica y por lo tanto representa un estado de equilibrio del proceso de evolución asociado. Para que este estado pueda existir (i.e. para que la ecuación tenga solución), debe haber un balance entre la difusión y el término de reacción. En particular, si la difusión es pequeña en relación al calor generado (lo cual equivale a tener un valor de λ muy grande), entonces el calor no se disipa lo suficientemente rápido para poder alcanzar un punto de equilibrio. Es decir, intuitivamente, si λ es muy grande no se espera que la ecuación tenga solución.
Se probará que existe λ^∗ > 0 (que depende de n) tal que la ecuación no tiene soluciones si λ > λ^∗.
Más aún, se caracterizará lo que sucede para λ ∈ (0, λ^∗). En este régimen, veremos que el problema se comporta muy diferente dependiendo de la dimensión n:
Si n=1,2, entonces existen exactamente dos soluciones positivas si λ ∈ (0, λ∗) y sólo una si λ = λ^*. Estas soluciones se representarán mediante un diagrama de bifurcación.
Si 3 ≤ n ≤ 9, entonces hay una infinidad de soluciones positivas para λ = 2(n − 2) y una cantidad finita de soluciones para λ ∈ (0, λ^*). El número exacto de soluciones depende de λ y esto se puede describir de forma precisa con un diagrama de bifurcación.
Si n ≥ 10, entonces el problema tiene una única solución positiva u_λ. En particular, no existe solución para λ = λ^*
Estos resultados demuestran lo importante que puede ser la dimensión en la estructura de soluciones de un problema elíptico y el tipo de herramientas que se pueden utilizar para estudiar estas diferencias.
Además, el concepto de estabilidad juega un papel muy importante en el análisis de las soluciones del problema. Las diferentes nociones de estabilidad para soluciones de ecuaciones elípticas se definirán cuidadosamente en la tesis y se analizarán las diferencias entre ellas.
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